Численное решение коэффициентной обратной задачи электроимпедансной томографии с использованием лабораторных измерений

Представлен итерационный численный метод решения обратной коэффициентной задачи для однородного эл­липтического уравнения с интегро-дифференциальными граничными условиями в замкнутой области. Метод опирается на конечно-объемные аппроксимации дифференциальных и интегральных операторов на неструкту­рированных сетках, численное решение последовательности прямых задач при известном кусочно-постоянном распределении коэффициентов разностного эллиптического уравнения и сходящийся итеративно регуляризо­ванный метод Гаусса – Ньютона. Разработанный метод решения обратных задач электроимпедансной томо­графии прошел тестирование на измерениях электрического напряжения, выполненных на экспериментальном стенде KIT в университете Восточной Финляндии. Получены близкие к реальным результатам реконструкции электрической проводимости внутри области исследования.

1. Barber D. C., Brown В. H. Applied potential tomography. J. Phys. E: Sci. Instrum. 1984, vol. 17, рр. 723–733.

2. Korzhenevsky A. V. Elektroimpedansnaya tomografiya: issledovaniya, medicinskie prilozheniya, kommercializaciya [Electrical impedance tomography: research, medical applications, commercialization]. Almanac of Clinical Medicine. 2006, nо. 12. (In Russ.)

3. Pekker Ya. S., Brazovsky K. S., Usov V. Yu. et al. Elektroimpedansnaya tomografiya [Electrical impedance tomography]. Publisher: Tomsk: NTL, 2004. 192 с. (In Russ.)

4. Wei Z, Liu D, Chen X. Dominant-Current Deep Learning Scheme for Electrical Impedance Tomography. IEEE Trans Biomed Eng. 2019 Sep;66(9):2546–2555. DOI: 10.1109/TBME.2019.2891676. Epub 2019 Jan 9. PMID: 30629486.

5. Wang J. A two-step accelerated Landweber-type iteration regularization algorithm for sparse reconstruction of electrical impedance tomography. Math Meth Appl Sci. 2024, vol. 47, рр. 3261– 3272.

6. Hauptmann A., Kolehmainen V., Mach N. M., Savolainen T., Seppänen A., Siltanen S. Open 2D electrical impedance tomography data archive, 2017, рр. 1–15. http://arxiv.org/abs/1704.01178.

7. Gehre M., Kluth T., Lipponen A., Jin B., Seppänen A., Kaipio J. P., Maass P. Sparsity reconstruction in electrical impedance tomography: An experimental evaluation. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2012, vol. 236, iss. 8, рр. 2126–2136. https://doi.org/10.1016/j.cam.2011.09.035

8. Gehre M., Jin B. Expectation Propagation for Nonlinear Inverse Problems – with an Application to Electrical Impedance Tomography. Numerical Analysis (math. NA). 2013, рр. 1–35. DOI: 10.1016/j.jcp.2013.12.010

9. Borcea L. Electrical impedance tomography, topical review. Inverse Problems. 2002, vol. 18, рр. R99–R136.

10. Cheney M., Isaacson D., Newell J. C. Electrical impedance tomography, SIAM review, 1999, 41(1), рр. 85–101.

11. Somersalo E., Cheney M., Isaacson D. Existence and uniqueness for electrode models for electric current computed tomography. SIAM Journal on Applied Mathematics, 1992, 52(4), рр. 1023–1040.

12. Gu D., Liu D., Smyl D., Deng J., Du J. Supershape recovery from electrical impedance tomography data. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2021, 70, рр. 1–11.

13. Afanaseva A. A., Starchenko A. V. Chislennoe reshenie pryamoj zadachi elektroimpedansnoj tomografii v polnoj elektrodnoj postanovke [Numerical solution of the direct problem of electrical impedance tomography in the full electrode formulation]. Vestn. Tomsk. state University. Mat. and Mech. 2022, nо. 78, рр. 5–21. DOI: 10.17223/19988621/78/1 (In Russ.)

14. Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Uravneniya matematicheskoj fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow: Nauka, 1977. 735 с. (In Russ.)

15. Bakhvalov N. S., Zhidkov N. P., Kobelkov G. M. Chislennye metody: uchebnoe posobie dlya studentov fiziko-matematicheskih special’nostej vuzov [Numerical methods: a textbook for students of physics and mathematics specialties of higher education institutions]. 8th ed. Moscow [et al.]: Fizmatlit [et al.], 2000. 624 с. (In Russ.)

16. Saad Yu. Iteracionnye metody dlya razrezhennyh linejnyh sistem [Iterative methods for sparse linear systems]. In 2 volumes, vol. 1. Study guide, vol. 1, 2nd ed. // M.: Publishing house of Moscow University. 2013. 344 с. (In Russ.)

17. Tikhonov A. N., Arsenin V. Ya. Metody resheniya nekorrektnyh zadach [Methods for solving ill-posed problems]: [Textbook for universities in the specialty “Applied Mathematics”]. 3rd ed., correc